Question

10．某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需80元，若购买A种奖品5件和B种奖品4件，共需150元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1375元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．

Answer 1

分析 （1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“钱数=A种奖品单价×数量+B种奖品单价×数量”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（100-m）件，根据购买费用不超过1375元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，再结合数量关系即可得出W与m之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．

解答 解：（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=80}\\{5x+4y=150}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=25}\end{array}\right.$，
答：A种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是25元．
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（100-m）件，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{10m+25×（100-m）≤1375}\\{m≤4×（100-m）}\end{array}\right.$，
解得：75≤m≤80．
∴W=10m+25×（100-m）=-15m+2500（75≤m≤80），
∵-15＜0，
∴当m=80时，W取最小值，最小值为1300．
故W（元）与m（件）之间的函数关系式为W=-15m+2500（75≤m≤80），最少费用为1300元．

点评 本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出W关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、函数关系或不等式组）是关键．