Question

化简：
（1）

3

2

cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
（2）(

18

-4

1 2

+

1

2 - 3

)÷

3

3

（3）已知关于x的方程x2-(k+1)x+

k2

4

+1=0，
①k为何值时，方程有两个实数根？
②若方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₁|=x₂，则k为何值？

Answer 1

分析：（1）先利用tanα=cot（90°-α），可知tan36°=cot54°，再将特殊角的三角函数值代入，计算即可；
（2）先化简各二次根式，再根据混合运算的法则计算即可；
（3）①先求出判别式△的值，由△≥0，解关于k的不等式即可求解；
②先根据韦达定理判断x₁＞0，x₂＞0，再根据|x₁|=x₂，可知方程的判别式△=0，即可求出k的值．

解答：解：（1）

3

2

cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
=

3

2

×

1

3

+

1

2

+tan36°-4×1×

2

2

-cot54°
=

1

2

+

1

2

-2

2

=1-2

2

；

（2）(

18

-4

1 2

+

1

2 - 3

)÷

3

3

=（3

2

-2

2

-

2

-

3

）×

3

=-3；

（3）①∵由题意，得△=[-（k+1）]²-4（

k2+1

4

）≥0，
∴k≥

3

2

，
∴当k≥

3

2

时，此方程有实数根；
②∵x₁+x₂=k+1＞0，x₁x₂=

k2+1

4

＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
又|x₁|=x₂，
∴x₁=x₂，
∴△=0，
∴k=

3

2

．
故若方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₁|=x₂，则k为

3

2

．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，互余角的三角函数之间的关系，二次根式的计算，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式及韦达定理，难度中等，（3）中第②问先判断x₁＞0，x₂＞0是解题的关键．