Question

6．如图，抛物线C₁：y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（1）将抛物线C₁上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；
（2）将抛物线C₁上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C₂，抛物线C₂的顶点为C，点P在抛物线C₂上，满足S_△PAC=S_△ABC，且∠ACP=90°．
①当k＞1时，求k的值；
②当k＜-1时，请直接写出k的值，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C₁解析式求出A、B及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的2倍，待定系数求解可得；
（2）①如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x及顶点C的坐标，根据S_△PAC=S_△ABC知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C₂解析式可求得k的值；
②如图2中，当k＜-1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C₂解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C₂解析式可求得k的值；

解答 解：（1）∵y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$（x-1）²+$\sqrt{3}$，
∴抛物线C₁经过原点O，点A（1，$\sqrt{3}$）和点B（2，0）三点，
∴变换后的抛物线经过原点O，（2，2$\sqrt{3}$）和（4，0）三点，
∴变换后抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2$\sqrt{3}$x；

（2）①如图1中，当k＞1时，
∵抛物线C₂经过原点O，（k，$\sqrt{3}$k），（2k，0）三点，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k，$\sqrt{3}$k），

如图，∵S_△PAC=S_△ABC，
∴BP∥AC，
过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，
由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，
∴OE=1，CE=BP=2k-1，
∵∠PBD=60°，
∴BD=k-$\frac{1}{2}$，PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1），
∴P（k+$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1）），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$（k+$\frac{3}{2}$）²+2$\sqrt{3}$（k+$\frac{3}{2}$），
解得：k=$\frac{9}{2}$；
②如图2中，当k＜-1时，

∵抛物线C₂经过原点O，（k，$\sqrt{3}$k），（2k，0）三点，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k，$\sqrt{3}$k），
作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，
∵S_△PAC′=S_△ABC=S_△AC′B′，
∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，
∴PE′=OC′=-2k，B′E′=1，PB′=-2k-1，
在Rt△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，
∴DB′=$\frac{1}{2}$PB′=$\frac{-2k-1}{2}$，DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-2k-1），
∴点P坐标[$\frac{2k-3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k+1）]，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k+1）=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$（$\frac{2k-3}{2}$）²+2$\sqrt{3}$（$\frac{2k-3}{2}$）
∴k=-$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数的性质、解直角三角形等知识点，根据题意表示出点P的坐标是解题的关键，学会添加辅助线构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．