在菱形ABCD中.∠BAD=α.E为对角线AC上的一点.将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后.所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置.α和β的大小都不确定.于是他从特殊情况开始进行探究．(1)如图1.当α=β=90°时.菱形ABCD是正方形．小宇发现.在正方形中.AC平分∠BAD.作EM⊥AD于M.EN⊥AB于N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．
（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为EB=EF．
（2）如图2，当α=60°，β=120°时，
①依题意补全图形；
②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，
请举出反例说明；
（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：α+β=180°或$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°

分析（1）直接得出结论；
（2）①依题意补全图形如图2所示，
②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM=EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；
证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；
（3）借助（2）的两种证法，利用全等三角形的性质和四边形和三角形的内角和即可得出结论．

解答解：（1）EB=EF，
故答案为：EB=EF；
（2）①补全图形如图2所示，

②结论依然成立EB=EF；
证法1：如图3，

过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CAD=∠CAB．
∵EM⊥AF，EN⊥AB．
∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，
∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，
∴∠F+∠ABE=360°-∠BAD-∠BEF=180°．
∵∠ABE+∠EBN=180°，
∴∠F=∠EBN；
在△EFM与△EBN中，$\left\{\begin{array}{l}∠F=∠EBN\\∠FME=∠N\\ EM=EN\end{array}\right.$
∴△EFM≌△EBN．
∴EF=EB；
证法2：如图4，连接ED

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．
又∵AE=AE，
∴△ADE≌△ABE．
∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，
又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．
∴∠F+∠ABE=180°．
又∵∠ADE+∠FDE=180°，
∴∠F=∠FDE．
∴EF=ED．
∴EF=EB．
（3）
如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM=∠BEN，
∴∠BEF=∠MEN，
在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，
∴∠BAC+∠BEF=180°，
∴α+β=180°
如图4，

由（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，
∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=$\frac{α}{2}$，∠AEB=∠AED=$\frac{β}{2}$，
根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°．
故答案为：α+β=180°或$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°．