Question

1．如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=10，BC=5，D是AB的中点，动点Q从点B开始在线段BC上以每秒1个单位的速度向C移动，动点P从点A开始在线段AD上以每秒1个单位的速度向点D移动，设点P，Q的移动时间为t秒，当△DPG与△DAC相似时，求t的值．

Answer 1

分析 根据题意得出AP=BQ=t，则BP=10-t，CQ=5-t，分两种情况：①当∠DPG=∠A时，PQ∥AC，得出比例式，即可得出t的值；②当∠DPG=∠ACD时，作DM⊥AC于M，则∠DMA=∠DMC=90°，由三角函数和勾股定理得出DM、AM、CM，由三角函数得出$\frac{DM}{CM}$=$\frac{BQ}{BP}$，即可求出t的值；即可得出结果．

解答 解：根据题意得：AP=BQ=t，
则BP=10-t，CQ=5-t，
∵∠PDG=∠ADC，
∴分两种情况：
①当∠DPG=∠A时，PQ∥AC，△DPG与△DAC相似，
则$\frac{AP}{AB}=\frac{CQ}{BC}$，
即$\frac{t}{10}=\frac{5-t}{5}$，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
②当∠DPG=∠ACD时，
作DM⊥AC于M，如图所示：
则∠DMA=∠DMC=90°，
∵∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵tanA=$\frac{DM}{AM}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴DM=$\sqrt{5}$，AM=2$\sqrt{5}$，
∴CM=3$\sqrt{5}$，
∵∠DPG=∠ACD，
∴△CDM∽△PQB，
∴$\frac{DM}{CM}$=$\frac{BQ}{BP}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{t}{10-t}$，
解得：t=$\frac{5}{2}$．
综上所述：当△DPG与△DAC相似时，t的值为$\frac{10}{3}$s或$\frac{5}{2}$s．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握相似三角形的判定与性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键，注意分类讨论．