Question

已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；
（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；

（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，
∴CF=AB．
根据勾股定理，得
CF²+DC²=AB²+DC²=DF²=20，
∴DF=2

5

，
∴OD=

5

，即⊙O的半径为

5

．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．