Question

【题目】如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.

（1）求证:△AOC∽△ABP；

（2）求点P的坐标；

（3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点P的坐标为（2，4）；（3）点Q的横坐标为：或.

【解析】

（1）利用PB∥OC，即可证明三角形相似；

（2）由一次函数解析式，先求点A、C的坐标，由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值，从而可求出点P的坐标即可；

（3）把P坐标代入求出反比例函数，设Q点坐标为（n，），根据△BQD与△AOC相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出n的值，即可确定出Q坐标．

（1）证明：∵PB⊥ x轴，OC⊥x轴，

∴OC∥PB，

∴△AOC∽△ABP；

（2）解：对于直线y=x+3，

令x=0，得y=3；

令 y=0，得x=-6 ；

∴A(-6，0)，C(0，4)，

∴OA=6，OC=3.

∵△AOC∽△ABP，

∴，

∵S△ABP=16，S△AOC=，

∴，

∴，即，

∴PB=4，AB=8，

∴OB=2，

∴点P的坐标为：（2，4）.

（3）设反比例函数的解析式为：y=，

把P(2，4)代入，得k=xy=2×4=8，

∴y=.

点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为：（n，）(n＞2)，

则BD=，QD=，

①当△BQD∽△ACO时，，

即，

整理得：，

解得：或；

②当△BQD∽△CAO时，，

即，

整理得：，

解得：，（舍去），

综上①②所述，点Q的横坐标为：1+或1+.