Question

20．计算：$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$+$\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{121\sqrt{119}+119\sqrt{121}}$的值．

Answer 1

分析 根据每个加数的特点，推出一般规律为$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n-1}+（2n-1）\sqrt{2n+1}}$═$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$），将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，60，寻找抵消规律，得出结论．

解答 解：∵$\frac{1}{（2n+1）\sqrt{2n-1}+（2n-1）\sqrt{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}$[$\frac{（2n+1）-（2n-1）}{（2n+1）\sqrt{2n-1}+（2n-1）\sqrt{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}$[$\frac{（\sqrt{2n+1}）^{2}-（\sqrt{2n-1}）^{2}}{\sqrt{2n+1}×\sqrt{2n-1}（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}）}$
=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}×\sqrt{2n-1}}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$）
∴分别取n=1，2，3，…60得
原式=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{5}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{5}}$-$\frac{1}{\sqrt{7}}$）+…+（$\frac{1}{\sqrt{119}}$-$\frac{1}{\sqrt{121}}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{11}$）
=$\frac{5}{11}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．