Question

11．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根据勾股定理得：PD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD-PC=5-3=2，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4-r，
根据勾股定理得：（4-r）²=r²+2²，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠E=∠PBO，∠DPE=∠OPB，
∴△DEP∽△OBP，
∴$\frac{DE}{OB}=\frac{DP}{OP}$，
∴DE=$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．