题目内容

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E，
（1）AE
 
EB（填“＞”、“=”、“＜”）
（2）求AE的长；
（3）如图2，点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动；同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动，设运动时间为t秒．
①在点P、Q运动过程中，四边形CPDQ的面积是否发生变化，并说明理由；
②当t为何值时，△DEQ为等腰三角形．
考点：勾股定理,三角形的面积,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定,三角形中位线定理
专题：动点型
分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EB；
（2）设AE=BE=x，表示出CE，然后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）①连接CD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出点D到AC、BC的距离，再根据S四边形CPDQ=S△CDP+S△CDQ列式整理即可得解；
②利用勾股定理列式求出AB，再求出AD，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出AE、DE，再分情况讨论求解即可．
解答：解：（1）∵点D为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB；
故答案为：=；

（2）设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
所以AE=5；

（3）①如图2，连接CD，∵点D为边AB的中点，
∴点D到AC、BC的距离分别为
1
2
BC=
1
2
×4=2，
1
2
AC=
1
2
×8=4，
∴S四边形CPDQ=S△CDP+S△CDQ，
=
1
2
×（4-t）×4+
1
2
×2t×2，
=8-2t+2t，
=8，
所以，四边形CPDQ的面积不发生变化；

②如图3，由勾股定理得，AB=
AC2+BC2
=
82+42
=4
5
，
∵点D为边AB的中点，
∴AD=
1
2
AB=
1
2
×4
5
=2
5
，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AE
AB
=
AD
AC
，
即
DE
4
=
AE
4
5
=
2
5
8
，
解得DE=
5
，AE=5，
∴CE=AC-AE=8-5=3，
若DE=EQ，则CQ=CE-EQ=3-
5
，
或CQ=CE+EQ=3+
5
，
此时，t=
3-
5
2
或t=
3+
5
2
，
若DE=DQ，过点D作DF⊥AC于F，
∵点D为边AB的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴CF=
1
2
AC=
1
2
×8=4，
∴EF=CF-CE=4-3=1，
∴CQ=4+1=5，
此时，t=
5
2
，
综上所述，t=
3-
5
2
或
3+
5
2
或
5
2
时，△DEQ为等腰三角形．
点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，综合题型题目，难点在于（3）要分情况讨论．
练习册系列答案
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A、
B、
C、
D、
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（2）
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．
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3
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1
2
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．
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．

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