Question

5．如图，A、B、C三个地点（图中的线段均是道路），AC⊥BC，甲、乙两人同时从A地出发，已知甲的速度比乙的速度快$\frac{1}{4}$，如果经C地到达B地，且使乙比甲早到B地，这是一个不可能的情况，但在距A地200米的D处有一条路可直通B地（即图中BD）．
（1）请你设计一种走法，使乙比甲可能早到B地；
（2）若sin∠BDC=$\frac{4}{5}$，AC=BC，按第（1）题中你设计的走法，若乙比甲早到1分钟，求此时甲、乙两人的速速．

Answer 1

分析 （1）根据三角形两边之和大于第三边，让乙由A到D到B，而甲由A到D到C到B，则乙比甲可能早到B地；
（2）设乙的速度为x米/分，则甲的速度为$\frac{5}{4}$x米/分，根据乙比甲早到1分钟，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）根据三角形两边之和大于第三边，让乙由A到D到B，而甲由A到D到C到B，则乙比甲可能早到B地；

（2）在直角△BCD中，∵sin∠BDC=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴可设BC=4k，则BD=5k，
由勾股定理得CD=3k，
∵AC=BC，
∴200+3k=4k，
∴k=200，
∴BD=5k=1000，BC+CD=7k=1400．
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为$\frac{5}{4}$x米/分，根据题意得
$\frac{200+1400}{\frac{5}{4}x}$-$\frac{200+1000}{x}$=1，
解得：x=80．
经检验，x=80是原方程的解．
所以$\frac{5}{4}$x=100．
答：甲的速度为100米/分，乙的速度为80米/分．

点评 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．也考查了解直角三角形的应用及三角形三边关系．