Question

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，易得∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BEM∽△CNE；
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，可得

BE

CN

=

EM

NE

，又由BE=EC，即可得

EC

CN

=

EM

NE

，然后由∠ECN=∠MEN=45°，证得△ECN∽△MEN．

解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°
∴∠1+∠4=135°
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE；

（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

=

EM

NE

，
又∵BE=EC，
∴

EC

CN

=

EM

NE

，
∴

EC

EM

=

CN

NE

，
又∵∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．