Question

11．如图，折叠矩形ABCD的一边AD使点D落在BC边上的E处，已知折痕AF=10cm，且tan∠FEC=$\frac{3}{4}$．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）利用尺规作图求作与四边形AEFD各边都相切的⊙O的圆心O（只须保留作图痕迹），并求出⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）在Rt△EFC中利用三角函数定义得tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=$\frac{3}{4}$，则可设FC=3k，EC=4k，利用勾股定理可计算得EF=5k，再根据折叠的性质得DF=EF=5k，AD=AE，∠AEF=∠D=90°，则DC=DF+CF=8k，于是AB=CD=8k，利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，接着在Rt△ABE中，利用正切的定义得到BE=6k，则利用勾股定理可得AE=10k，所以AD=10k，然后在Rt△ADF中利用勾股定理得（10k）²+（5k）²=10²，解得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后计算矩形ABCD的面积；
（2）如图，作∠ADF的平分线交AF于O点，由于AF平分∠EAD和∠EFD，则点O到四边形AEFD各边的距离相等，这样作OH⊥AD于H，以点O为圆心，OH为半径作⊙O，⊙O为所作，设⊙O的半径为r，易得OH=DH=r，然后证明△AOH∽△AFD，然后利用相似比可计算出r．

解答 解：（1）在Rt△EFC中，∵tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴设FC=3k，EC=4k，
∴EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=5k，
∵折叠矩形ABCD的一边AD使点D落在BC边上的E处，
∴DF=EF=5k，AD=AE，∠AEF=∠D=90°，
∴DC=DF+CF=5k+3k=8k，
∴AB=CD=8k，
∵∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE=tan∠FEC=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴BE=6k，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10k，
∴AD=10k，
在Rt△ADF中，∵AD²+DF²=AF²，
∴（10k）²+（5k）²=10²，解得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴矩形ABCD的面积=10k•8k=80•$\frac{4}{5}$=64；
（2）如图，作∠ADF的平分线交AF于O点，作OH⊥AD于H，以点O为圆心，OH为半径作⊙O即可，
设⊙O的半径为r，
∵∠ODH=45°，
∴△OHD为等腰直角三角形，
∴OH=DH=r，
∵OH∥DF，
∴△AOH∽△AFD，
∴$\frac{OH}{DF}$=$\frac{AH}{AD}$，即$\frac{r}{5k}$=$\frac{10k-r}{10k}$，
∴r=$\frac{10}{3}$k=$\frac{10}{3}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
即⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了复杂作图和相似三角形的判定与性质．