Question

2．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB、AC于点D、E，连接DE．
（1）当∠BAC=60°，求证：2DE=BC；
（2）在（1）条件下，过点D作DF⊥OE交AC于F，连接FO并延长交AB的延长线于G，若BD=2，BG=$\frac{9}{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，CD，由BC为⊙O的直径，得到∠BDC=90°，于是得到∠ADC=180°-90°=90°，得到△ODE是等边三角形，求得DE=OD=$\frac{1}{2}$BC，于是得到结果；
（2）在等边三角形ODE中，由于DF⊥EO，得到∠EDF=∠ODF，推出△DEF≌△DOF，证得∠DEF=∠DOF，于是得到∠AED=∠DOG=∠DBO通过△DOB∽△DGO，得到$\frac{OD}{DG}=\frac{DB}{OD}$求得OD=$\sqrt{13}$，BC=2$\sqrt{13}$，在R_t△BDC中，DC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{13）^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，由于△ADE∽△ACB，得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$求得AE=3，EC=5，由于△FEO∽△OEF，得到$\frac{OE}{EC}=\frac{EF}{OE}$求得EF=$\frac{13}{5}$，于是得到CF=EC-EF=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$．

解答 解：（1）连接OD，CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=180°-90°=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ACD=30°，
∴∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=$\frac{1}{2}$BC，即：2DE=BC；

（2）在等边三角形ODE中，
∵DF⊥EO，
∴∠EDF=∠ODF，
在△DEF与△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DO}\\{∠EDF=∠ODF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DOF，
∴∠DEF=∠DOF，
∴∠AED=∠DOG=∠DBO，
∵∠ODB=∠GDO，
∴△DOB∽△DGO，
∴$\frac{OD}{DG}=\frac{DB}{OD}$，
∴OD²=DB•DG=2×（2+4.5）=13，
∴OD=$\sqrt{13}$，BC=2$\sqrt{13}$，
在R_t△BDC中，DC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{13）^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，
在R_t△ADC中，AD=4，AC=8，
∵∠A=∠A，∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{4}{8}=\frac{AE}{6}$，
∴AE=3，EC=5，
∵FE=FO，
∴∠FEO=∠FOE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴△FEO∽△OEF，
∴$\frac{OE}{EC}=\frac{EF}{OE}$，
∴OE²=EF•EC，
∴13=5•EF，
∴EF=$\frac{13}{5}$，
∴CF=EC-EF=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．