Question

19．已知：关于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂）．若y是关于a的函数，且y=ax₂•x₁，求这个函数的表达式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是-11＜b＜-5．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；
（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x₁，x₂，即可得出函数函数关系式；
（3）画出新函数的图形和直线y=2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．

解答 （1）证明：∵ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）是关于x的一元二次方程，
∴△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4＞0，
∴方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）有两个不相等的实数根．


（2）解：由求根公式，得x=$\frac{2（a-1）±\sqrt{△}}{2a}$=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$．
∴x=1或x=1-$\frac{2}{a}$．   
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=ax₂•x₁=a×（1-$\frac{2}{a}$）•1=a-2．
即函数的表达式y=a-2（a＞0），


（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和这些CBA有两个公共点，
继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和这些CBA也只有一个公共点，
由（2）知，函数的表达式y=a-3（a＞0），
当a=2时，y=2-3=-1，
∴B（2，-1），
由折叠得，C（4，-3），
当函数y=2a+b的图象过点B时，
∴-1=2×2+b，
∴b=-5，
当函数y=2a+b的图象过点C时，
∴-3=2×4+b，
∴b=-11，
∴-11＜b＜-5．
故答案为：-11＜b＜-5．

点评 此题是翻折变换，主要考查了一元二次方程的根的判别式，求根公式，一次函数的性质，函数图象的画法，解本题的关键是求出函数的表达式y=a-3（a＞0），画出函数图象是解本题的难点，注意b的范围两个端点都不能取，此题（3）可以通过函数关系式求出射线BA的解析式，线段BC的解析式，再利用直线y=2a+b既和射线BA有交点，也和线段BC有交点，即可求出b的范围．