Question

4．已知直线y=-$\sqrt{3}$x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．

Answer 1

分析 以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=-$\sqrt{3}$x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．

解答 解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=-$\sqrt{3}$x+3中x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=-$\sqrt{3}$x+3中y=0，则-$\sqrt{3}$x+3=0，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∵抛物线的对称轴为x=$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（2$\sqrt{3}$，3），
∴AC=2$\sqrt{3}$=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=-$\frac{1}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4中y=0，则-$\frac{1}{3}$（x-$\sqrt{3}$）²+4=0，
解得：x=-$\sqrt{3}$，或x=3$\sqrt{3}$．
∴点E的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），点F的坐标为（3$\sqrt{3}$，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故答案为：3．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．