Question

9．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．
（1）CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．

Answer 1

分析 （1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；
（2）连接DE，证得DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE=$\frac{1}{2}$AB，证得DE=CD，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）连接DE，如图所示：
∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=CD，
∵CG=EG，
∴DG⊥CE．

点评 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．