Question

8．在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是BC上的一点，E为CD上一点，且∠BAP=∠EPC，PE=DE．
（1）求证：PA=AD；
（2）求EP的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，CD=AB=4，BC=AD=5，证出∠APE=90°，由HL证明Rt△APE≌Rt△ADE，得出对应边相等即可；
（2）设EP=DE=x，则CE=4-x，由勾股定理求出BP，得出CP，在Rt△PCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，CD=AB=4，BC=AD=5，
∴∠BAP+∠1=90°，
∵∠BAP=∠EPC，
∴∠EPC+∠1=90°，
∴∠APE=90°，
∴∠APE=∠D，
在Rt△APE和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{PE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△APE≌Rt△ADE（HL），
∴PA=AD；
（2）解：设EP=DE=x，则CE=4-x，
由（1）得：PA=AD=5，
∴BP=$\sqrt{P{A}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴CP=BC-BP=2，
在Rt△PCE中，由勾股定理得：CP²+CE²=EP²，
即2²+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5，
即EP的长为2.5．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．