Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q，连接BQ，
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ．
（2）当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时，求BQ的长度．
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，AD=AQ（点P不与点A、C重合）．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角线可得∠DAC=∠BAC，然后利用“边角边”证明即可；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，根据三角形的面积列式求出QE，再判断出△AEQ是等腰直角三角形，然后求出AE=EQ，再求出DE，然后利用勾股定理列式计算求出DQ，根据全等三角形对应边相等可得BQ=DQ；
（3）根据等边对等角可得∠ADQ=∠AQD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CPQ=∠ADQ，然后求出∠CQP=∠CPQ，再根据等角对等边可得CP=CQ．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAC=∠BAC，
在△ADQ和△ABQ中，

AB=AD ∠DAC=∠BAC AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）解：如图，过点Q作QE⊥AD于E，
∵△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6，
∴S_△ADQ=

1

2

×6QE=

1

6

×6²，
解得QE=2，
∵∠DAC=

1

2

∠BAD=45°，
∴△AEQ是等腰直角三角形，
∴AE=EQ=2，
∴DE=AD-AE=6-2=4，
在Rt△DEQ中，DQ=

DE2+QE2

=

42+22

=2

5

，
∵△ADQ≌△ABQ，
∴BQ=DQ=2

5

；

（3）解：∵AD=AQ，
∴∠ADQ=∠AQD，
∵正方形的对边AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
又∵∠AQD=∠CQP（对顶角相等），
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AC=6

2

，
∴CP=6

2

-6，
故当点P运动到距离点C6

2

-6时，AD=AQ．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等边对等角和等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键．