Question

18．在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax²-4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．
（1）求点D、点M的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-4ax+4a+3=a（x-2）²+3，可得顶点D（2，3），M（2，0）．
（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，因为OM=2，OA=-4a-3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=-a，根据OA=2DN，可得方程-4a-3=-2a，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+3=a（x-2）²+3，
∴顶点D（2，3），M（2，0）．

（2）作PN⊥DM于N．
∵AM∥DP，
∴∠PDN=∠AMG，
∵DG∥OA，
∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，
∵∠PND=∠AOM=90°，
∴△PDN∽△MAO，
∴$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∵OM=2，OA=-4a-3，PN=1，
∴P（1，a+3），
∴DN=-a，
∵OA=2DN，
∴-4a-3=-2a，
∴a=-$\frac{3}{2}$．
当点A在y的正半轴上时，如图，
∴△PDN∽△MAO，
∴$\frac{PN}{OM}$=$\frac{DN}{OA}$=$\frac{PD}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∵OM=2，OA=4a+3，PN=1，
∴P（3，a+3），
∴DN=-a，
∵OA=2DN，
∴4a+3=-2a，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
综上所述，满足条件的a的值为-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．