Question

阅读下列材料：1×2=

1

3

×（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

×（2×3×4-1×2×3），3×4=

1

3

×（3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

1260

．

Answer 1

分析：（1）根据题目信息列出算式，然后提取

1

3

，进行计算即可得解；
（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的

1

3

，然后列出算式进行计算即可得解；
（3）根据（2）的规律类比列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

1

4

×7×8×9×10=1260．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）；1260．

点评：本题是对数字变化规律的考查，难度较大，（3）利用类比的思想求解即可，观察出（2）的变化规律是解题的关键．