Question

9．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．
（1）求∠APE的度数；
（2）连接DE，当△PDE为等边三角形时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，在利用垂直的定义和三角形内角和定理可得结果；
（2）设BP=x，根据等边三角形的性质，利用三角函数，易得PD=$\sqrt{3}$x，在Rt△APE中，PE=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（6-x）$，利用等边三角形的性质可得PE=PD，建立等量关系，解得x．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠APE=180°-∠A-∠AEP=180°-60°-90°=30°；

（2）设BP=x，则AP=6-x，
在Rt△BPD中，PD=BP•tan60°=$\sqrt{3}$x，在Rt△APE中，PE=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（6-x）$，
∵△PDE为等边三角形，
∴PD=PE，
即$\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x），
解得：x=2，
∴当△PDE为等边三角形时，BP的长为2．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质建立等量关系，利用方程思想是解答此题的关键．