在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AD=2.建立如图所示的平面直角坐标系.已知A.B．(1)分别写出C.D两点的坐标:C,(2)若动点O1在线段CD上运动(O1不与端点C.D重合).以O1C为半径作圆．①如图1.以CD为直径的⊙O1交BC于点E.试求线段CE的长.并判断此时⊙O1与y轴的位置关系,②如图2.若点F为AB中点.设点O1(a.b).试探索:点O1在线段CD上运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0）．
（1）分别写出C、D两点的坐标：C（4，0）、D（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）若动点O₁在线段CD上运动（O₁不与端点C、D重合），以O₁C为半径作圆．
①如图1，以CD为直径的⊙O₁交BC于点E，试求线段CE的长，并判断此时⊙O₁与y轴的位置关系；
②如图2，若点F为AB中点，设点O₁（a，b），试探索：点O₁在线段CD上运动过程中，当⊙O₁与直线EF相离时，求a的取值范围．

分析（1）作DH⊥BC于H，如图1，根据等腰梯形的性质得CE=OB=2，DE=OA=2$\sqrt{3}$，则OC=OE+EC=4，于是可得到C点和D点坐标；
（2）①根据圆周角定理得∠DEC=90°，即DE⊥OC，再根据等腰直角梯形的性质得CE=OB=2；作O₁N⊥AO于N，如图1，易得O₁N为梯形AOCD的中位线，于是可计算出O₁N=$\frac{1}{2}$（AD+OC）=3，然后根据直线与圆的位置关系可判断⊙O₁与y轴相离；
②先利用勾股定理计算出AB=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAO=30°，∠ABO=60°，则BF=2，再证明△ABO≌△EBF得到∠BAO=∠BEF=30°；连结O₁E，作O₁Q⊥CE于Q，如图2，接着证明EF与⊙O₁相切，并求出此时O₁的横坐标为（3，1），于是可说明当a=3时，⊙O₁与直线EF相切，所以当3＜a＜4时，⊙O₁与直线EF相离．

解答解：（1）作DH⊥BC于H，如图1，
∵A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），
∴OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴CE=OB=2，DE=OA=2$\sqrt{3}$，
而AD=2，
∴OC=OE+EC=4，
∴C（4，0），D（2，2$\sqrt{3}$）；
故答案为：4，0；2，2$\sqrt{3}$；

（2）①∵CD为直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥OC，
∴CE=OB=2；
作O₁N⊥AO于N，如图1，
∵点O₁为CD的中点，
∴O₁N为梯形AOCD的中位线，
∴O₁N=$\frac{1}{2}$（AD+OC）=$\frac{1}{2}$×（2+4）=3，
∴O₁N＞$\frac{1}{2}$CD，
∴⊙O₁与y轴相离；
②在Rt△ABO中，∵OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∵点F为AB中点，
∴BF=2，
在△ABO和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BF}\\{∠ABO=∠EBO}\\{BA=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EBF，
∴∠BAO=∠BEF=30°，
连结O₁E，作O₁Q⊥CE于Q，如图2，
∵∠DCE=∠ABO=60°，O₁E=O₁C，
∴△O₁EC为等边三角形，
∴∠O₁EC=60°，CE=O₁C，
∴∠O1EF=180°-∠BEF-∠O₁EC=90°，
∴EF与⊙O₁相切，
∵O₁Q⊥CE于Q，
∴EQ=CQ=$\frac{1}{2}$EC=1，
∴此时O₁的横坐标为（3，1），
即a=3时，⊙O₁与直线EF相切，
∴当3＜a＜4时，⊙O₁与直线EF相离．