Question

19．如图，AD为△ABC的中线，AB=AC，∠BAC=45°，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE与AD交于点F．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）试探索AF与CD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等，证明∠BAD=∠BCE，利用ASA证明即可解答；
（2）由全等三角形的性质得出AF=BC，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE．
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△AEF和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEB}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠EAF=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）解：AF=2CD；理由如下：
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∵BC=2CD，
∴AF=2CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的判定方法．