Question

9．问题提出：如图（1），在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求S_{正方形MNPQ}．
问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长为a；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系=；（填“＞”，“=”“或＜”）；通过上述的分析，可以发现S_{正方形MNPQ}与S_△FSB之间的关系是S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB．
问题解决：求S_{正方形MNPQ}．
拓展应用：如图（3），在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF=1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S_△PQR．
（请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题）．

Answer 1

分析 （1）问题探究：根据AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，可得△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，进而得出AD=WE=a；根据所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，可得新正方形与原正方形ABCD的面积相等；根据图形可得4×（S_△FSB+S_{四边形MFBG}）=S_{正方形MNPQ}+4×S_{四边形MFBG}，即S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB；
（2）问题解决：根据S_△FSB=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，即可求得S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB=4×$\frac{1}{2}$=2；
（3）拓展应用：根据图形，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），进而得出S_△PRQ=S_△ADG+S_△BHE+S_△CFI=3S_△ADG，再过点G作GJ⊥BA于J，根据GJ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得S_△ADG，最后根据S_△PQR=3S_△ADG进行计算即可．

解答 解：（1）问题探究：
∵AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，
∴AE=DW，
∴AE+DE=DW+DE=a，即AD=WE=a，
∵拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠，
∴这个新正方形的边长为a；
∵所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为$\frac{1}{2}$a，
每个等腰直角三角形的面积为：$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a²，
∴拼成的新正方形面积为：4×$\frac{1}{4}$a²=a²，
即新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
∵新正方形的面积=4×S_△MSG=4×（S_△FSB+S_{四边形MFBG}），
原正方形ABCD的面积=S_{正方形MNPQ}+4×S_{四边形MFBG}，
∴4×（S_△FSB+S_{四边形MFBG}）=S_{正方形MNPQ}+4×S_{四边形MFBG}，
即S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB；
故答案为：a，=，S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB；

（2）问题解决：
∵S_△FSB=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB=4×$\frac{1}{2}$=2；

（3）拓展应用：
如图所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），
∴S_△PRQ=S_△ADG+S_△BHE+S_△CFI=3S_△ADG，
如图，过点G作GJ⊥BA于J，
根据∠ADG=∠BDP=30°，∠DAF=60°=∠GAJ可得，∠ADG=∠AGD=30°，
∴AD=AG=1，
∴GJ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$AD×GJ=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△PQR=3S_△ADG=3×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作作辅助线构造直角三角形进行求解．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．