Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax²+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m；

①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．

（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．

②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．

【解答】解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．

由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．

∵y=ax²+bx﹣3经过A、B两点，

∴

∴，

则抛物线的解析式为：y=x²﹣x﹣3，

设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．

∵PC∥y轴，

∴∠ACP=∠AEO．

∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x²﹣x﹣3．则点P（m， m²﹣m﹣3）．

已知直线AB：y=x+1，则点C（m， m+1）．

∴PC=m+1﹣（m²﹣m﹣3）=﹣m²+m+4=﹣（m﹣1）²+

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）²+]•=﹣（m﹣1）²+

∴PD长的最大值为：．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．

∵sin∠ACP=，

∴cos∠ACP=，

又∵∠FDP=∠ACP

∴cos∠FDP==，

在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m²﹣2m﹣8）．

又∵BG=4﹣m，

∴====．

当==时，解得m=；

当==时，解得m=．

【点评】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．