己知:在菱形ABCD中.∠ABC=60°.对角线AC.BD相交于点O.点E是线段BD上一动点.连接AE.以AE为边在AE的右侧作等边△AEF．(1)如图①.若点F落在线段BD上.线段AE.FD的数量关系是AE=FD,(2)如图②.若点F不在线段BD上.(1)中的结论是否成立?若成立.请证明:若不成立.请说明理由,(3)BE与BD满足BE=$\frac{2}{3}$BD时.AE∥FD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．己知：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作等边△AEF．
（1）如图①，若点F落在线段BD上，线段AE、FD的数量关系是AE=FD；
（2）如图②，若点F不在线段BD上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）BE与BD满足BE=$\frac{2}{3}$BD时，AE∥FD．

分析（1）先利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；
（2）先判断出△ACD是等边三角形，再用△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论；
（3）先判断出四边形AEDF是菱形，进而求出∠EAD=30°，即可求出∠BAE=90°，即可得出BE=2DE，即可得出结论．

解答解：（1）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠ADO=30°，
∴∠OAD=60°，
∵△AEF是等边三角形，边EF在BD上，
∴AE=AF，∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AE=AF，
∴AE=FD；
故答案为AE=FD；

（2）成立，如图1，连接CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，∠EAF=60°=∠CAD
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
△ACE≌△ADF，
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE，

（3）如图2，
由（2）知，AE=FD，
∵AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∴?AEDF是菱形，
∴AE=ED，
∴∠EAD=∠ADE=30°，
∵∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴BE=2AE，
∴BE=2DE，
∴BD=BE+DE=3DE，
∴BE=$\frac{2}{3}$BD，
故答案为BE=$\frac{2}{3}$BD．