Question

14．一个平行四边形ABCD，AB=4，BC=9，点E是DC延长线上一点，连接AE交BC边于点F，求BF+EC的最小值．

Answer 1

分析 设BF=x，EC=y，由AB∥DE，推出$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{CF}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{9-x}$，可得y=$\frac{36}{x}$-4，推出BF+EC=x+y=x+$\frac{36}{x}$-4，由（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{36}{x}}$）²≥0，推出x-12+$\frac{36}{x}$≥0，推出x+$\frac{36}{x}$≥12，推出BF+EC≥12-4，即BF+EC≥8，由此即可解决问题．

解答 解：设BF=x，EC=y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{9-x}$，
∴y=$\frac{36}{x}$-4，
∴BF+EC=x+y=x+$\frac{36}{x}$-4，
∵（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{36}{x}}$）²≥0，
∴x-12+$\frac{36}{x}$≥0，
∴x+$\frac{36}{x}$≥12，
∴BF+EC≥12-4，
∴BF+EC≥8，
∴BF+EC的最小值为8．

点评 本题考查平行四边形的性质、最短问题、完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用参数，构建函数解决最值问题，题目比较难，证明x+$\frac{36}{x}$≥12是本题的突破点．