Question

16．（1）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，D是BC上一点，BD=AD，则有∠ADC=30°，请你结合图形运用三角函数意义证明：sin30°=2sin15°cos15°；
（2）小华猜想，对于锐角2α，可能有sin2α=2sinα•cosα成立．老师说，小华的猜想是正确的．请你用类似（1）的方法，通过构造等腰三角形和直角三角形，利用锐角三角函数的意义，证明sin2α=2sinαcosα．

Answer 1

分析 （1）设AC=b，如图1，在Rt△ADC中，∵∠ADC=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2b，CD=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$b，在Rt△ADC中，利用勾股定理计算出AB²=（8+4$\sqrt{3}$）b²，再利用三角形函数的定义得到sinB=sin15°=$\frac{AC}{AB}$，cosB=cos15°=$\frac{BC}{AB}$，则2sin15°cos15°=$\frac{2（2+\sqrt{3}）{b}^{2}}{（8+4\sqrt{3}）{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，于是有sin30°=2sin15°cos15°；
（2）如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=α，D是BC上一点，BD=AD，则有∠ADC=2α设AC=b，CD=a，AB=c，则AD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，则BD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，与（1）的证明过程类似．

解答 证明：（1）设AC=b，如图1，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=30°，
∴AD=2b，
∴CD=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$b，
在Rt△ADC中，∵AC=b，BC=2b+$\sqrt{3}$b=（2+$\sqrt{3}$）b，
∴AB²=b²+（2+$\sqrt{3}$）²b²=（8+4$\sqrt{3}$）b²，
∴sinB=sin15°=$\frac{AC}{AB}$，cosB=cos15°=$\frac{BC}{AB}$，
∴2sin15°cos15°=2•$\frac{b}{AB}$•$\frac{（2+\sqrt{3}）b}{AB}$=$\frac{2（2+\sqrt{3}）{b}^{2}}{（8+4\sqrt{3}）{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
而sin30°=$\frac{1}{2}$，
∴sin30°=2sin15°cos15°
 （2）如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=α，D是BC上一点，BD=AD，则有∠ADC=2α，
设AC=b，CD=a，AB=c，则AD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，则BD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
在Rt△ADC中，sin2α=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
在Rt△ABC中，sinB=sinα=$\frac{b}{c}$，cosB=cosα=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a}{c}$，
∴2sinαcosα=2•$\frac{b}{c}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a}{c}$=$\frac{2b（\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a）}{{c}^{2}}$，
而c²=b²+（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a$）²=2（a²+b²+a•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）=2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+a），
∴2sinαcosα=$\frac{2b（\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a）}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}（\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a）}$=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∴sin2α=2sinαcosα．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练运用三角函数的定义．