Question

10．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$．求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}$，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}$
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，BC=6，
∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切线
∴BE=DE，BE⊥BC
∴BE²+BC²=EC²，即BE²+6²=（4+BE）²
解得：BE=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．