Question

20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x²-11x+30=0的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法解方程x²-11x+30=0可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=$\frac{1}{2}$OB=3，于是可写出A点坐标；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，-3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，-$\frac{3}{4}$t），所以QR=t-（-$\frac{3}{4}$t），从而得到m关于t的函数关系式．
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+6，直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-9，然后分类讨论：当0＜t＜3时，利用$\frac{7}{4}$t=3.5可求出t得到P点坐标；
当3≤t＜4时，则Q（t，-t+6），R（t，-$\frac{3}{4}$t），于是得到-t+6-（-$\frac{3}{4}$t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，-t+6），R（t，$\frac{3}{2}$t-9），所以-t+6-（$\frac{3}{2}$t-9）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标．

解答 解：（1）∵方程x²-11x+30=0的解为x₁=5，x₂=6，
∴OB=6，OC=5，
∴B点坐标为（6，0），
作AM⊥x轴于M，如图，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴A点坐标为（3，3）；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，
∵t=4时，直线l恰好过点C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN=$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴C点坐标为（4，-3），
设直线OC的解析式为y=kx，
把C（4，-3）代入得4k=-3，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线OC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，
设直线OA的解析式为y=ax，
把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴QR=t-（-$\frac{3}{4}$t）=$\frac{7}{4}$t，
即m=$\frac{7}{4}$t（0＜t＜3）；
（3）设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（3，3），B（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3p+q=3}\\{6p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+6，
同理可得直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-9，
当0＜t＜3时，m=$\frac{7}{4}$t，若m=3.5，则$\frac{7}{4}$t=3.5，解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；
当3≤t＜4时，Q（t，-t+6），R（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴m=-t+6-（-$\frac{3}{4}$t）=-$\frac{1}{4}$t+6，若m=3.5，则-$\frac{1}{4}$t+6=3.5，解得t=10（不合题意舍去）；
当4≤t＜6时，Q（t，-t+6），R（t，$\frac{3}{2}$t-9），
∴m=-t+6-（$\frac{3}{2}$t-9）=-$\frac{5}{2}$t+15，若m=3.5，则-$\frac{5}{2}$t+15=3.5，解得t=$\frac{23}{5}$，此时P点坐标为（$\frac{23}{5}$，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（$\frac{23}{5}$，0）．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．