Question

9．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD．
（1）当∠DBC=20°，求∠BAE．
（2）求证：AB=2OE．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠ADB，然后求出∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠BAE；
（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，根据等边对等角可得∠ABD=∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO=∠EOF，再根据等角对等边可得EF=OE，从而得证．

解答 （1）解：在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠ABD=2∠DBC，∠ADB=20°，
∴∠ABD=2×20°=40°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE=90°-∠ABD=90°-40°=50°；

（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵AO=CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根据三角形的外角性质，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OE．

点评 本题考查了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线是解题的关键．