Question

3．如图，等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB=2，∠ADB=90°．
（1）试求等腰梯形ABCD的周长y与腰长x之间的函数关系式．
（2）当腰长等于多少时，梯形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，根据平行线的判定得到OE∥BD，由三角形的中位线的性质得到AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，由三角形相似得相似比，用x表示AF的长，根据CD=AB-2AF表示等腰梯形的上底，可求梯形的周长；
（2）把（1）中梯形周长的表达式配方，可求周长的最大值．

解答 解：（1）取AB的中点O，过O作OE⊥AD于E，DF⊥AO于F，
∵∠ADB=90°，
∴OE∥BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
易证Rt△ADF∽Rt△AOE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AO}$，即$\frac{AF}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{x}{1}$，解得AF=$\frac{1}{2}$x²，
∴CD=AB-2AF=2-x²，
∴y=2x+2+2-x²=-x²+2x+4；

（2）∵y=-x²+2x+4=-（x-1）²+5，
∴x=1时，周长最大为5．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，二次函数在求梯形周长最值中的运用．关键是利用三角形相似求梯形的上底．