已知.如图.△ABC是等边三角形.△ACD是等腰三角形.DC=AD=2$\sqrt{3}$.∠ADC=120°.∠EDF=60°.把∠EDF一边DF与DC重合.将∠EDF绕着D点顺时针旋转.旋转角为α.且0°＜α＜60°.在旋转过程中其两边分别与AB.BC交于点E.F.连接EF.请你探究下列问题:(1)探究一:求等边△ABC的边长,(2)探究二:请你在备用图中探究下� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知，如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，DC=AD=2$\sqrt{3}$，∠ADC=120°，∠EDF=60°，把∠EDF一边DF与DC重合，将∠EDF绕着D点顺时针旋转，旋转角为α（即：∠CDF=α），且0°＜α＜60°，在旋转过程中其两边分别与AB、BC交于点E、F，连接EF，请你探究下列问题：
（1）探究一：求等边△ABC的边长；
（2）探究二：请你在备用图中探究下列两个问题：
①当α=15°时，BE的长度是4（结果可保留根号）
②当α=30°时，△BEF的周长是12．
（3）探究三：在上述旋转过程中，当α≠30°时，△BEF的周长与（2）中②的结果相比是否会发生变化？若不会发生变化，请写出求其周长的过程，若发生变化，请说明理由．

分析（1）作DM⊥AC于M，由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA=30°，AM=CM，由直角三角形的性质得出DM=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，求出AM=$\sqrt{3}$DM=3，得出AC=2AM=6即可；
（2）①由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠B=60°，求出∠DAE=90°，∠ADE=45°，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AE=AD=2$\sqrt{3}$，即可求出BE=AB-AE=6-2$\sqrt{3}$；
②由题意求出∠ADE=30°，∠AED=60°，得出AE=$\frac{AD}{\sqrt{3}}$=2，求出BE=AB-AE=4，BF=BC-CF=4，得出BE=BF，△BEF是等边三角形，因此EF=BE=4，即可得出△BEF的周长；
（3）延长BA至点P，使AP=CF，连接PD，由SAS证明△DPA≌△DFC，得出PD=FD，∠ADP=∠CDF，证出∠EDP=∠EDF，由SAS证明△DPE≌△DFE，得出EF=PE=AP+AE，求出△BEF的周长=BE+EF+BF=AB+BC=12即可．

解答解：（1）作DM⊥AC于M，如图1所示：
∵△ACD是等腰三角形，DC=AD=2$\sqrt{3}$，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，AM=CM，
∵DM⊥AC，
∴DM=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{3}$DM=3，
∴AC=2AM=6，
即等边△ABC的边长为6；

（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠B=60°，
∴∠DAE=60°+30°=90°，
∵∠CDF=α=15°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF-∠CDF=45°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=2$\sqrt{3}$，
∴BE=AB-AE=6-2$\sqrt{3}$；
故答案为：6-2$\sqrt{3}$；
②∵∠CDF=α=30°，
∴∠ADE=120°-60°-30°=30°，
∵∠DAE=90°，
∴∠AED=90°-30°=60°，
∴AE=$\frac{AD}{\sqrt{3}}$=2，
∴BE=AB-AE=4，
∵∠ACB=60°，∠DCA=30°，
∴∠DCF=90°，
∴CF=$\frac{CD}{\sqrt{3}}$=2，
∴BF=BC-CF=4，
∴BE=BF，
∵∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=4，
∴△BEF的周长=4×3=12；
故答案为：12；

（3）△BEF的周长不会发生变化；理由如下：
延长BA至点P，使AP=CF，连接PD，如图2所示：
∵∠DAE=90°，
∴∠DAP=90°=∠DCF，
在△DPA和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}&{\;}\\{∠DAP=∠DCF}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DPA≌△DFC（SAS），
∴PD=FD，∠ADP=∠CDF，
∵∠EDF=60°，
∴∠EDP=120°-60°=60°=∠EDF，
在△DPE和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{PD=FD}&{\;}\\{∠EDP=∠EDF}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DFE（SAS），
∴EF=PE=AP+AE，
∴△BEF的周长=BE+EF+BF=BE+AE+AP+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC=12；
∴△BEF的周长不变，其周长为12．