Question

若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．

Answer 1

（1）4；（2）12．

【解析】

试题分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=AB，据此列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值．

试题解析：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．

∵a＞0，

∴AB=，

又∵CE=||=，

∴，

∴，

∴b2-4ac=，

∵b2-4ac＞0，

∴b2-4ac=4；

（2）当△ABC为等边三角形时，

由（1）可知CE=AB，

∴，

∵b2-4ac＞0，

∴，

∴b2-4ac=12．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．根与系数的关系；3．等腰三角形的性质；4．等边三角形的性质．