Question

7．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=52.5°，∠B=97.5°，∠AOB=120°（O为圆心），AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，用a、b、c、d表示四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 连接AC，BD交于P，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求出∠1=∠2=60°，证明AC⊥BD，根据直角三角形30°的性质得出：PD=$\frac{1}{2}$d，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$d，PC=$\frac{1}{2}$b，PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b；并利用两角对应相等证明△APB∽△DPC，列比例式$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}$，代入后可得：a=$\sqrt{3}$c，由勾股定理得4c²=b²+d²，代入四边形ABCD的面积公式可得结论．

解答 解：连接AC，BD交于P，
∵∠AOB=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵∠ABC=97.5°，
∴∠3=22.5°，
∵∠DAB=52.5°，
∴∠DAC=30°，
∴∠1+∠DAC=90°，
∴AC⊥BD，
在Rt△ADP中，∵∠DAC=30°，AD=d，
∴PD=$\frac{1}{2}$d，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$d，
同理得：PC=$\frac{1}{2}$b，PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∵∠BAC=∠BDC，∠APB=∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{\frac{1}{2}d}$=$\frac{a}{c}$，
∴a=$\sqrt{3}$c，
在Rt△CPD中，由勾股定理得：DC²=PD²+PC²，
c²=$（\frac{1}{2}d）^{2}+（\frac{1}{2}b）^{2}$，
4c²=b²+d²，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（AP+PC）（BP+PD），
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$d+$\frac{1}{2}$b）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b+$\frac{1}{2}$d），
=$\frac{1}{8}$（$\sqrt{3}$d²+4bd+$\sqrt{3}$b²），
=$\frac{1}{8}$[$\sqrt{3}$（b²+d²）+4bd]，
=$\frac{1}{8}$（4$\sqrt{3}$c²+4bd），
=$\frac{1}{8}$（4ac+4bd），
=$\frac{1}{2}$（ac+bd）．

点评 本题是圆内接四边形，考查了圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、勾股定理及四边形的面积等知识，明确对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半，本题比较复杂，根据相似三角形和勾股定理将对角线转化为四边，从而使问题得以解决．