如图.已知抛物线的顶点坐标为E(1.0).与y轴的交点坐标为(0.1)．(1)求该抛物线的函数关系式,(2)A.B是x轴上两个动点.且A.B间的距离为AB=4.A在B的左边.过A作AD⊥x轴交抛物线于D.过B作BC⊥x轴交抛物线于C．①当CD∥x轴时.四边形ABCD是正方形,②当CD∥x轴时.在线段BD上是否存在这样的点P.使得△PAE的周长最小?若存在.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图，已知抛物线的顶点坐标为E（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C．
①当CD∥x轴时，四边形ABCD是正方形；
②当CD∥x轴时，在线段BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由．
（3）在（2）的基础上，直线BD上是否存在这样的点Q，使得△BAQ与△ACE相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，把点（0，1）代入抛物线的解析式求得a的值即可；
（2）①依据题意可求得A、B、C、D的坐标，从而可对四边形ABCD的形状作出判断；②连结CE交BD与点P，依据轴对称的性质可知AP=PC，故此当E、P、C在一条直线上时，△APE的周长最小，然后求得直线EC和直线BD的解析式，由函数解析式可求得两直线的交点P的坐标，然后求得CE的长处，最后依据△PAE的周长=AE+EC求解即可；
（3）过点Q作QF⊥AB，垂足为F，当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$时，△BAQ与△ACE相似，从而可求得BQ的长，然后在Rt△QFB中求得QF、BF的长，于是可得到点Q的坐标．

解答解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，把点（0，1）代入抛物线有：1=a（0-1）²，得：a=1．
所以抛物线的解析式为：y=（x-1）²；
（2）①∵AD∥BC，AB=4，E（1，0），
∴A（-1，0），B（3，0）．
当x=-1时，y=4，当x=3时，y=4，
∴D（-1，4），C（3，4）．
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：正方；
②如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴点A点C关于BD对称，直线CE与BD的交点就是点P．
此时：A（-1，0），B（3，0），C（3，4），D（-1，4），E（1，0）．
在Rt△BEC中，依据勾股定理可求得EC=2$\sqrt{5}$．
设直线CE的解析式为y=kx+b，将点E和点C的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-2，
∴直线CE的解析式：y=2x-2．
设直线BD的解析式：y=mx+n，将点B、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-m+n=4}\end{array}\right.$，解得：m=-1，n=3．
∴直线BD的解析式为y=-x+3．
将y=2x-2与y=-x+3联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{5}{3}$，y=$\frac{4}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
∴△PAE的周长=AE+EC=2+2$\sqrt{5}$．
（3）如图所示：过点Q作QF⊥AB，垂足为F．

∵四边形ABCD为正方形．
∴∠QBA=∠CAE=45°．
∴当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$时，△BAQ与△ACE相似．
∴$\frac{BQ}{4}$=$\frac{2}{4\sqrt{2}}$，解得：BQ=$\sqrt{2}$．
在Rt△QFB中，∠QBF=45°，
∴QF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1．
∴点Q的坐标为（2，1）．