Question

4．如图，已知一次函数y=-x的图象是直线l₁，将它向上平移4个单位得到了直线l₂，直线l₂与反比例函数的图象交于A（1，m）和B（n，1），与x轴交于点C．
（1）直线l₂的函数关系式是y=-x+4
（2）求m、n的值及反比例函数的关系式；
（3）在直线l₁平移得到直线l₂的过程中，直线l₁与x轴交于点P（含与点O重合），连结PA，PB．设点P的坐标为（t，0），△PAB的面积为S，请求出用t表示S的函数关系式，并说明当t为何值时，△PAB面积S最大．

Answer 1

分析 （1）由平移的性质可求得答案；
（2）把A、B两点的坐标代入直线l₂的解析式可分别求得m、n的值，代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式；
（3）用t可表示出PC的长，结合A、B的坐标可分别表示出△PAC和△PBC的面积，利用S=S_△PAC-S_△PBC可求得S与t的函数关系式，利用函数的性质可求得S的最大值．

解答 解：
（1）∵直线l₁的解析式为y=-x，
∴将它向上平移4个单位其解析式为y=-x+4，
∴直线l₂的函数关系式是y=-x+4，
故答案为：y=-x+4；
（2）∵直线l₂与反比例函数的图象交于A（1，m）和B（n，1），
∴m=-1+4=3，1=-n+4，
∴m=3，n=3，
∴A（1，3），B（3，1），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（3）在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），
∵P（t，0）（0≤t≤4），
∴PC=4-t，
∴S=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$PC×3-$\frac{1}{2}$PC×1=PC=4-t，
即S=-t+4，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=0时，S有最大值4．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及平移的性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、三角形面积及一次函数的性质等知识．在（1）中掌握平移的性质是解题的关键，在（2）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（3）中用t表示出△PAB的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．