题目内容

如图1，边长均为6的正△ABC和正△A′B′C′原来完全重合．如图2，现保持正△ABC不动，使正△A′B′C′绕两个正三角形的公共中心点O按顺时针方向旋转，设旋转角度为α（α＞0°）．（注：除第（3）题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可）
（1）当α多少时，正△A′B′C′与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合？
（2）当0°＜α＜360°时，要使正△A′B′C′与正△ABC重叠部分面积最小，α可以取哪些角度？
（3）旋转时，如图3，正△ABC和正△A′B′C′始终具有公共的外接圆⊙O．当0°＜α＜60°时，记正△A′B′C′与正△ABC重叠部分为六边形DEFGHI．当α在这个范围内变化时，
①求△ADI面积S相应的变化范围；
②△ADI的周长是否一定？说出你的理由．

解：（1）∵当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合，此时点A′与C重合，旋转角度α=180°-60°=120°，
∴当α=120°时，正△A'B'C'与正△ABC
出现旋转过程中的第一次完全重合；

（2）当△A′B′C′中任意一条边与△ABC平行时重叠部分面积最小，
∵由（1）可知当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合时α=60°，
∴当α=60°、180°或300°时重叠部分面积最小；

（3）①∵两三角形的边长均为6，
∴当A′B′∥BC时，∠ADI为等边三角形，
∴ID=2，
∴S_△ADI= $\text{[math]}$ ID•AI•sin60°= $\text{[math]}$ ×2×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△ADI面积S相应的变化范围为：0＜S≤ $\text{[math]}$
②△ADI的周长一定；理由如下：
连接AB′，∵AB=A'B'，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠IAB'=∠IB'A，
∴IA=IB'，
同理，DA=DA'，
∴△ADI的周长：IA+ID+DA=IB'+ID+DA'=A'B'=6．
分析：（1）因为当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合，故α=120°；
（2）当△A′B′C′中任意一条边与△ABC平行时重叠部分面积最小，由（1）可知当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合时α=60°，所以当α=60°、180°或300°时重叠部分面积最小；
（3）①由于两三角形的边长均为6，所以当A′B′∥BC时，△ADI为等边三角形，所以ID=2，所以S_△ADI= $\text{[math]}$ ID•AI•sin60°= $\text{[math]}$ ×2×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而可得出结论；
②连接AB′，根据AB=A'B'，可得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再根据圆周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，进而可得出结论．
点评：本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质、圆心角、弧、弦的关系，涉及面较广，难度较大．