Question

15．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=80°，则∠AOB=50°．

Answer 1

分析 作P关于OA，OB的对称点P₁，P₂．连接OP₁，OP₂．则当M，N是P₁P₂与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP₁M=∠OPM=50°，OP₁=OP₂=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：作P关于OA，OB的对称点P₁，P₂．连接OP₁，OP₂．则当M，N是P₁P₂与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P₁O、P₂O，
∵PP₁关于OA对称，∠MPN=80°
∴∠P₁OP=2∠MOP，OP₁=OP，P₁M=PM，∠OP₁M=∠OPM，
同理，∠P₂OP=2∠NOP，OP=OP₂，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP₁=OP₂=OP，
∴△P₁OP₂是等腰三角形．
∴∠OP₂N=∠OP₁M，
∴∠P₁OP₂=180°-80°=100°，
∴∠AOB=50°，
故答案为：50°

点评 本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P₁OP₂是等腰三角形是解题的关键．