Question

10．已知二次函数y=x²+mx+n（m，n为常数）．
（1）当m=2，n=-3时，请判断抛物线y=x²+mx+n与x轴的交点情况，并说明理由；
（2）当n=m²时，
①请求出抛物线y=x²+mx+n的顶点P的坐标（用含m的式子表示）；并直接写出点P所在的函数图象解析式；
②若在自变量x满足m≤x≤m+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出判别式的值即可判定．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）①利用配方法即可解决问题．
②当n=m²时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可．

解答 解：（1）∵m=2，n=-3，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3，
∵△=2²-4×1×（-3）=16＞0，
∴抛物线y=x²+mx+n与x轴有两个交点．

（2）①n=m²时，抛物线解析式为y=x²+mx+m²=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m²．
∴顶点P的坐标为（$\frac{m}{2}$，$\frac{3}{4}$m²），
顶点P所在函数图象的解析式为，y=3x²．
②当n=m²时，二次函数解析式为y═x²+mx+m²，
图象开口向上，对称轴为直线x=-$\frac{m}{2}$，
①当-$\frac{m}{2}$＜m，即m＞0时，
在自变量x的值满足m≤x≤m+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=m时，y=m²+m•m+m²=3m²为最小值，
∴3m²=21，解得，m₁=-$\sqrt{7}$（舍去），b₂=$\sqrt{7}$；
②当m≤-$\frac{m}{2}$≤m+3时，即-2≤m≤0，
∴x=-$\frac{m}{2}$，y=$\frac{3}{4}$m²为最小值，
∴$\frac{3}{4}$m²=21，解得，m₁=-2$\sqrt{7}$（舍去），b₂=2$\sqrt{7}$（舍去）；
③当-$\frac{m}{2}$＞m+3，即m＜-2，
在自变量x的值满足m≤x≤m+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=m+3时，y=（m+3）²+m（m+3）+m²=3m²+9m+9为最小值，
∴3m²+9m+9=21．解得，m₁=1（舍去），m₂=-4；
∴m=$\sqrt{7}$时，解析式为：y=x²+$\sqrt{7}$x+7
b=-4时，解析式为：y=x²-4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16．

点评 本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．