Question

20．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G．
（1）求证：△AGF∽△CGB；
（2）请求出△BGC与四边形CGFD的面积之比．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AF∥BC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设正方形的边长是a，可分别求得△BFC，△ABC，△AFG的面积，从而可求得四边形CGFD的面积，则不难求△BGC与四边形CGFD的面积之比．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AF∥BC，
∴△AGF∽△CGB；
（2）解：∵F是AD的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
设正方形的边长是a，则△BFC的面积是$\frac{1}{2}$a²，△ABC的面积是$\frac{1}{2}$a²，
AF=$\frac{a}{2}$，S_△ABF=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{2}$×a=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
$\frac{FG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AFG=$\frac{1}{3}$S_△AFB=$\frac{{a}^{2}}{12}$，
∵△AGF∽△CGB，
∴$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGF}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BGC=$\frac{{a}^{2}}{3}$，
∴四边形CGFD的面积a²-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{{a}^{2}}{12}$=$\frac{5{a}^{2}}{12}$，
∴△BGC与四边形CGFD的面积之比是4：5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．