Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．

（1）如图，若该抛物线经过、两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点．

①若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；

②取的中点，连接，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，，；②的最大值为．

【解析】

（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）①首先求出直线的解析式和线段的长度，作为后续计算的基础．

若为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

当为直角边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移4个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点；

当为斜边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移2个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点．

②由①可知，为定值，因此当取最小值时，有最大值．

如答图2所示，作点关于直线的对称点，由分析可知，当、、中点）三点共线时，最小，最小值为线段的长度．

解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为

点的坐标为．

抛物线过，两点，

，

解得：，，

抛物线的函数表达式为：．

（2）①，，，

直线的解析式为：．

设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上．

点在直线上滑动，

可设的坐标为，

则平移后抛物线的函数表达式为：．

解方程组：，

解得，

，．

过点作轴，过点作轴，则

，．

．

若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．

由，，可知，

为等腰直角三角形，且，．

如图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．

可设直线的解析式为：，

，

，

解得，

直线的解析式为：．

解方程组，

得：，

，．

当为斜边时：，可求得点到的距离为．

如答图2，取的中点，则点的坐标为．

由，，可知：

为等腰直角三角形，且点到直线的距离为．

过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．

可设直线的解析式为：，

，

，

解得，

直线的解析式为：．

解方程组，

得：，

，，，．

综上所述，所有符合条件的点的坐标为：

，，，，，．

②存在最大值．理由如下：

由①知为定值，则当取最小值时，有最大值．

如答图2，取点关于的对称点，易得点的坐标为，．

连接，，，

易得，且，

四边形为平行四边形．

．

．

当、、三点共线时，最小，最小值为．

的最大值为．