题目内容
【题目】已知点
为抛物线
上一动点，以为顶点，且经过原点
的抛物线，记作“
”，设其与
轴另一交点为
，点的横坐标为
．
（1）①当
为直角三角形时，
________；
②当为等边三角形时，求此时“”的解析式；
（2）若点的横坐标分别为1，2，3，……
（为正整数）时，抛物线“”，分别记作“
”，“
”…“
”，设其与轴另一交点分别为
，
，
…
，过
，
，
，…，
作轴的垂线，垂足分别为
，
，
，…，
．
①的坐标为________，
________；（用含的代数式表示）
②当
时，求的值；
③是否存在这样的
，使得
？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①
，②
；（2）①
，
，②
，③存在，
【解析】
（1）①易知
是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则P（m，m），代入
即可求出m；
②当为等边三角形时，则P（m，
），代入求出m，可得P点和A点坐标，然后利用待定系数法求“
”的解析式即可；
（2）①根据二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的对称性可得答案；
②根据
列方程求解即可；
③如图，当
时，
，证明
，求出
，求出
，即可解决问题．
解：（1）①∵
为“”顶点，为直角三角形，
∴是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴P（m，m），
代入得：
，
∴
；
②如图1，过作
轴于
，
当是等边三角形时，
，
∴P（m，），
代入得：
，
∴
，
∴
，
，
设“”的解析式为：
，
将代入得，
，
解得：
，
∴“”的解析式为：
；
（2）①∵点为抛物线
上的点，
∴，；
②∵，
∴
，即
，
解得：
（舍去），
，
∴；
③存在，
如图，当时，，
∴
，
∵
坐标为
，
把
代入，得
，
∴
坐标为
，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴．
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