Question

12．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且DE=DF．求证：△ABD≌△CGD．

Answer 1

分析 先根据直角三角形的性质，得到AB=GC，再根据等腰直角三角形的性质，得到AD=CD，最后判定Rt△ABD≌Rt△CGD即可．

解答 证明：∵AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、CG的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$GC，
∵DE=DF，
∴AB=GC，
∵∠ACB=45°，AD是边BC上的高，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
在Rt△ABD和Rt△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AB=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CGD（HL）．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定方法，证明时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形的外心位于斜边的中点．