Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）当AC=BC时，一点O、D、E、C为顶点的四边形是什么特殊四边形？试说明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先判断BC为⊙O的切线，再利用切线长定理得到ED=EC，则∠1=∠2，接着证明∠3=∠B得到ED=EB，从而得到EB=EC；
（2）当AC=BC时，利用DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，OC=$\frac{1}{2}$AC得到OD=OC=CE=DE，加上∠OCE=90°，于是可判定四边形OCED为正方形．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵∠ACB=90°，
∴BC为⊙O的切线，
∵DE为切线，
∴ED=EC，
∴∠1=∠2，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠B+∠1=90°，
∴∠3=∠B，
∴ED=EB，
∴EB=EC，
即点E是边BC的中点；

（2）解：当AC=BC时，
DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
而OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OD=OC=CE=DE，
而∠OCE=90°，
∴四边形OCED为正方形．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；灵活应用切线长定理．也考查了正方形的判定．