Question

【题目】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．

（1）判断：

①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是 ；

②命题：如图1，在四边形中，则四边形是神奇四边形．此命题是_____（填“真”或“假”)命题；

③神奇四边形的中点四边形是

（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接

①求证：四边形是神奇四边形；

②若，求的长；

（3）如图3，四边形是神奇四边形，若分别是方程的两根，求的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；真；矩形；（2）①见解析，②；（3）5

【解析】

（1）①根据神奇四边形的定义即可判断；

②连接AC、BD，根据SSS证明△ADC≌△ABC得出∠DAC=∠BAC，再利用等腰三角形三线合一的性质证明AC⊥BD即可得到结论；

③根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形．

（2）①判断出CE⊥BG，即可得出四边形BCGE是神奇四边形；

②利用勾股定理即得出，再把相关数据代入求解即可；

(3)利用勾股定理即可得出，把，代入求得，再由方程得到，，进而得出，求解方程即可.

①∵在平行四边形、矩形、菱形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，

∴菱形一定是神奇四边形；

故答案为：菱形；

②连接AC、BD，

在△ACD和△ACB中，

∴△ACD≌△ACB

∴∠DAC=∠BAC

∵AB=AD

∴AC⊥BD

∴四边形是神奇四边形.

故答案为：真；

③如图：∵E、F、G、H分别为各边中点，

∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，
EH=FG=DB，EH∥FG∥BD，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．

故答案为：矩形；

证明:连接相交于点交于点,如图所

正方形和正方形,

,

,即

在和中,

,

，

,

,即

四边形是神奇四边形;

②四边形是神奇四边形，

,

由勾股定理得

，

,

正方形和正方形,

,

.

四边形是神奇四边形,同中②的证明方法,可得

又分别是方程的两根.

解得

当时,不合题意,所以舍去，