Question

12．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）直接写出y＜0时x的取值范围；
（3）直接写出使y随x增大的减小的x的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意知该抛物线的顶点是（$\frac{-2+3}{2}$，2），则可设该二次函数解析式为y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+2，然后将点A代入该解析式即可求得a的值；
（2）根据抛物线的解析式，直接写出y＜0的取值范围即可；
（3）根据抛物线的对称轴及开口方向，直接写出y随x增大而减小的范围即可．

解答 解：（1）∵该二次函数有最大值，
∴该函数的图象开口方向向下．
又∵二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，
∴该抛物线的对称轴是x=$\frac{-2+3}{2}$=$\frac{1}{2}$，函数有最大值2，
∴该函数的顶点是（$\frac{1}{2}$，2）．
∴可设该二次函数解析式为y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+2（a＜0），
则将点A的坐标代入，得0=a（-2-$\frac{1}{2}$）²+2，解得a=-$\frac{8}{25}$，
∴二次函数的函数关系式y=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2；
（2）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2，
∴a=-$\frac{8}{25}$＜0，
∴开口向下，
∴当x＜-2，或x＞3时，y＜0；
（3）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2，
∴对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，开口向下，
∴当x＞$\frac{1}{2}$时，y随x增大的减小．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标、对称轴是解决此题的关键．