Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，
（1）求点A、B的坐标；
（2）已知点P是x轴上的一点，若以P为圆心，2为半径的圆与直线AB相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线AB解析式，分别令x=0与y=0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）分P在直线AB左边与右边两种情况，利用直线与圆相切的性质求出P坐标即可．

解答 解：（1）对于直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=3，
则A（3，0），B（0，4）；
（2）当P在直线AB左侧时，直线AB与圆相切于点Q，如图1所示，连接PQ，

设P（x，0），可得PA=AO+OP=3-x，PQ=2，
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，
根据勾股定理得：AB=5，
∴sin∠BAO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{PQ}{PA}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{3-x}$，
解得：x=0.5，
此时P坐标为（0.5，0）；
当P在直线AB右侧时，直线AB与圆相切于点Q，如图2所示，连接PQ，

设P坐标为（y，0），可得PA=OP-OA=x-3，PQ=2，
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，
根据勾股定理得：AB=5，
∴sin∠BAO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{PQ}{PA}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{x-3}$，
解得：x=5.5，
此时P坐标为（5.5，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．