Question

8．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试证明：CD=BE．
（2）如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB=AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB=180°，则CD与BE是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．

Answer 1

分析 （1）只要用全等判定“AAS”证明△ABE≌△ACD，则CD=BE易求；
（2）作CF⊥AB，BG⊥AC，根据全等三角形的性质得到CF=BG，推出△CFD≌△BGE，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADC=∠AEB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴CD=BE；
（2）CD=BE，
证明如下：分别作CF⊥AB，BG⊥AC，
∴∠CBF=90°，∠BGC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△FBC和△GCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠BGC}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△GCB．
∴CF=BG，
∵∠ADC+∠AEB=180°，
又∵∠BEG+∠AEB=180°，
∴∠ADC=∠BEG，
在△CFD和△BGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠BEG}\\{∠CBF=∠BGE}\\{CF=BG}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△BGE，
∴CD=BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．